Distribuciones de Probabilidad / Esperanza Matematica, Varianza y desviación típica


Distribuciones de Probabilidad discreta y continua.

Variable aleatoria. 

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. A cada suceso de dicho espacio se le puede asignar un número de tal modo que a distintos sucesos les corresponden distintos números. Pues bien llamamos Variable aleatoria definida sobre un espacio muestral a una función que permite asignar a cada suceso de E un numero real y sólo uno.
Tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas

Una variable es discreta cuando entre dos valores consecutivos de la misma, la variable no puede tomar ningún otro valor. (nº de caras de una moneda)

Una variable es continua cuando entre dos valores cualesquier de la misma, la variable puede tomar infinitos valores (altura de los individuos de un colectivo).

Conviene precisar que las variables aleatorias continuas deben considerarse como idealizaciones matemáticas, pues en la práctica los instrumentos de media sólo posibilitan mediciones discretas.

Características de las variables aleatorias DISCRETAS

Función de probabilidad. Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de probabilidad definida sobre la variable aleatoria X, como la función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad de ocurrencia de dicho valor o suceso. Así:

F(xi)=P(X=xi) f: X ---------- > [0,1]
xi---------- >P(X=xi)
Son propiedades que cumple la función de probabilidad:
a) f(xi)"0
b)f(xi) = 1

c) Si a <b<c son valores de la variable aleatoria X, entonces
P(a"X"c)=P(a"X"b)+ P(b"X"c)

Función de distribución. Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de distribución de dicha variable a aquella función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad acumulada hasta ese valor. Así:
F(xi)=P(X"xi) F:X---------- > [0,1]
xi--------- > F(xi)= P(X"xi)
Son propiedades que cumple la función de distribución:
  F(-")=0•
  F(+")=1•
  F(x) es monótona creciente•
  P(a"X"b)= F(b)-F(a)•

 media, esperanza matematica 

Dado un experimento aleatorio, entendemos por media o esperanza matemática de una variable aleatoria asociada a dicho experimento al valor al que tiende a estabilizarse, cuando el experimento se repite un número elevado de veces. Se nota por E(X) y es igual a la suma de los productos de cada uno de los valores de la variable aleatoria por su función de probabilidad, así:
E(X)=
________________________________________
 xif(xi)
Propiedades de la Esperanza matemática:
a) E(a)=a siendo a un valor constante.
b) E(aX)= aE(X)
c) E(a+X)= a+ E(X)
Ejemplo de Esperanza matemática. En una lotería que sólo produce beneficios al ganador, ¿Cuál crees que debiera ser la Esperanza matemática de la variable euros ganados en dicha lotería? La solución E(X)= 0 

 varianza y desviación típica

La Varianza se define como la Esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a su Esperanza matemática.

Variables aleatorias dicotomicas. Media y varianza de dichas variables.

Una variable aleatoria diremos que es dicotómica cuando dicha variable sólo puede tomar dos valores distintos; x1=0 y x2=1. La función de probabilidad de una variable dicotómica sería, si f(1)= p como Lf(xi) = 1, entonces f(0)+f(1)= 1 y como f(1)=p, tendríamos que f(0)=1-p.

La esperanza matemática de una variable aleatoria dicotómica en la que f(1)=p, sería:
E(X)= 0•(1-p) + 1•p = p
E(X²) = 0² • (1-p) + 1² • p = p y la varianza sería  L²(X) = p - p² = p•(1 - p)

Variables aleatorias tipificadas Media y varianza de dichas variables.
Sea X una variable aleatoria cuya media o esperanza matemática es E(X)=µ y la desviación típica
L(X) =L    A partir de estos valores y de la variable aleatoria X podemos construir una nueva variable Z cuyos valores se obtiene mediante la siguiente expresión
X - µ
Z = ------
Esta nueva variable tendrá una media igual a cero y una desviación típica igual a uno.
E(Z) =E(------) = -- E(X - µ ) = -- [E(X) - µ] = 0, ya que E(X) = µ
________________________________________
L²(Z) = E(z²) - [E(z)]² = E(z²) ya que E(z) = 0
luego
________________________________________
L²(Z) = E(z²) = E( ------)² = E[ ------] = -- E(X - µ)² = -- •L² = 1
Por tanto toda variable aleatoria tipificada tiene de media cero y desviación típica uno.
Características de las variables aleatorias CONTINUAS
1.- Función de densidad de probabilidad. Es aquella función que asigna a cada valor xi de la variable X la densidad de probabilidad de la variable X en el punto xi. Así
f(xi) = P(X=xi)
Propiedades:
  f(x) " 0•
  "f(x) dx = 1•
2.- Función de distribución. Es aquella función que asigna a cada valor de la variable X su probabilidad acumulada.
F(xi) = P(X"xi)
Propiedades:
  F(-") = 0•
  F(+") = 1•
  F(x) es monótona creciente•
  P(a " x " b) = F(b) - F(a)•
3.- Valor Esperado. E(x) = "xi•f(x) dx
4.- Varianza. 
________________________________________
(X) = E(X²) - [E(X)]² = "xi²•f(x) dx - ("xi²•f(x) dx)²


Propiedades de la varianza
•        Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.
•        σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.
•        Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.

Distribuciones de probabilidad 

Son importantes porque se plasma de una manera clara los datos del estudio, utilizando a su vez la fuerza y apoyo exacto de los números y matemáticas, para expresar trabajos de forma clara y figurar los datos en forma cómoda para la vista en cuadros y gráficos, rigiéndose por normas establecidas y por formulas.

Es una función de probabilidad o de densidad de probabilidad, definida sobre un conjunto de sucesos exhaustivos y mutuamente excluyentes.

Estas distribuciones de probabilidad son teóricas y desconocidas en general, para muchas variables aleatorias. En el caso que se conozca la distribución de probabilidad, podemos averiguar la distribución de frecuencias que cabe esperar que se obtenga en una muestra de tamaño “n” extraída de dicha población. Si f(x) es la probabilidad asociada a un intervalo, la frecuencia que cabe esperar que se presente dicho intervalo cuando se elige una muestre de tamaño “n” sería nf(x)


Modelos de distribicuones de probabilidad

  Distribución muestral:• A partir del muestreo repetido, es una descripción matemática de todos los resultados posibles de los eventos muestrales y la probabilidad de cada uno.
  
Distribución binomial•

Un experimento aleatorio sigue el modelo binomial si cumple:

 En cada prueba del experimento solo son posibles• dos resultados, a uno de ellos se le suele llamar éxito y al otro fracaso (carácter mutuamente excluyente de ambos).

 El resultado obtenido en cada prueba del• experimento es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores.

 La probabilidad de ocurrencia de cada uno de los dos resultados posibles es constante, y por tanto, no varía de una prueba del experimento a otra; la probabilidad de uno de ellos suele representarse por• p y la de su contrario por q (p + q = 1)

La variable binomial es una variable discreta, pues solo puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n.
Para indicar que X es una variable binomial de parámetros n y p, escribiremos
B(X, n, p)
X es la Variable binomial, n representa el número de repeticiones del experimento y p la probabilidad del suceso llamado éxito, que es constante en todas las pruebas del experimento.
Dado que la tabla, por ser una función de distribución, lo que da es la P (X " x), si queremos calcular la P(X = x) hemos de restar a la probabilidad de que X sea menor o igual a x, la probabilidad de que X sea menor o igual a x -1.
Así: P(X = x) = P (X " x)- P (X " x-1)
Tiene:
media n•p ----------- varianza n•p•q.

La distribución normal.

El modelo de distribución de probabilidad para variables continuas más importante es la distribución normal. La gráfica de su función de probabilidad es la campana de Gauss.
Al tratarse de una distribución simétrica unimodal, la media, la moda y la mediana coinciden. Cuando una variable tiene una función de probabilidad cuya gráfica sea la de la figura diremos que dicha variable sigue una curva Normal de media µ y desviación típica, se expresa asíN (µ,) Cuanto mayor sea la desviación típica, más aplastada será la función de probabilidad.
En toda distribución normal en el intervalo de extremos:

La media menos la desviación típica, la media más la desviación típica se encuentra el 68.3% de la distribución.
P(µ-1<X< µ+1 )=0.683

La media menos dos veces la desviación típica, la media más dos veces la desviación típica se encuentra el 95.5% de la distribución.
P(µ-2<X< µ+2 )=0.955

La media menos tres veces la desviación típica, la media más tres veces la desviación típica se encuentra el 99.7% de la distribución.
P(µ-3<X< µ+3 )=0.997

Al estudiar la función de distribución de una variable continua, el calcular la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo equivale a calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función de probabilidad, los extremos del intervalo y el eje de abscisas.
En el caso de que el valor dado sea menor que cero o que deseemos conocer el porcentaje de casos superiores a uno dado (área a la derecha) utilizaremos la simetría de la distribución normal. En los casos en que la variable no tenga media cero o desviación típica uno, habrá previamente que tipificarla para transformarla en una nueva variable cuya media sea 0 y su desviación típica sea 1. La variable tipificada suele representarse por la letra Z y sus valores por z.



Problema de salud en un ejercicio de probabilidad

En un hospital de rehabilitación en Europa realizaron un estudio para 120 personas donde, 48 de los que se encuentran dentro del ensayo demostraron ser adictos al uso de marihuana, 36 son alcohólicos, y 12 de ellos usan ambas drogas.
Escogemos uno de ellos al azar.




1)  ¿Cuál es la probabilidad de que alguno use ambas drogas?




2)  ¿Cuál es la probabilidad de que sea alcohólico, sabiendo que usa marihuana?



3)  ¿Cuál es la probabilidad de que solo sea alcohólico?

Solución:



Llamamos  I = "usan marihuana",  F = "usan alcohol".




1) P [IF] = P[I] + P[F] - P [IF] = 48 + 36 – 12 / 120 = 72/120 = 3/5 = 0,6





2) P[F/I] = 12/48= 1/4 = 0,25





3) P [FnoI] = 24/120 = 1/5 = 0,2




Relación entre la probabilidad y la salud

Debemos comenzar definiendo que la probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática y las ciencias  para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

Por otra parte salud se define como es un estado de bienestar o de equilibrio que puede ser visto a nivel subjetivo (un ser humano asume como aceptable el estado general en el que se encuentra) o a nivel objetivo (se constata la ausencia de enfermedades o de factores dañinos en el sujeto en cuestión). El término salud se contrapone al de enfermedad, y es objeto de especial atención por parte de la medicina. 

Aunque a decir verdad el concepto mas aceptado de salud es el otorgado por la organización mundial de la salud «La salud es un estado de completo bienestar físico, mental y social, y no solamente la ausencia de afecciones o enfermedades.» La cita procede del Preámbulo de la Constitución de la Organización Mundial de la Salud, que fue adoptada por la Conferencia Sanitaria Internacional, celebrada en Nueva York a finales de la década de los 40’s. La definición no ha sido modificada desde 1948.

La probabilidad, en relación con la salud, mide la frecuencia con la que ocurre un resultado, para sacar conclusiones acerca de experimentos realizados, como el estudio de la eficacia de los fármacos y el aclara miento de los factores de riesgo de los mismos. Nos sirve  además para llevar un control de enfermedades puesto que gracias a la probabilidad podemos determinar de una forma muy certera los datos de incidencia de cualquier enfermedad.

La probabilidad nos puede ayudar además a prevenir distintos problemas de salud, puesto que por ejemplo, nos puede mostrar desde la correlación que existe entre las madres sin cuidados prenatales adecuados y las malformaciones congénitas, dado que podríamos calcular la incidencia con un experimento aleatorio el cual nos arrojaría como resultado la frecuencia con la que ambos datos de estudio se encontrarían relacionados.

Es por ello y muchos otros casos más que la probabilidad y la salud van de la mano.

Capítulo 14. La medicina basada en evidencia estadística.

En el pasado en la medicina no había un modo de evaluar la variabilidad de los síntomas de los pacientes.  De ahí por aspectos estadística medica se derivo la medición de los aspectos clínicos."La estadística ha cambiado el modo de ver la medicina."Surgió la medicina basada en evidencia, que tiene un aspecto cuantitativo de la medicina al evaluar los síntomas y pronosticar la fuerza del diagnostico. Es un grado importante en la medicina preventiva. Los médicos actuales están mejor formados en el campo de la estadística."La variabilidad biológica del ser humano exige el uso de la estadística"

Una especie con mucha variabilidad biológica estará mejor adaptada a un cambio de ambiente, esto le permite al ser humano ser altamente adaptable y nómada por lo tanto nuestras enfermedades también lo son. Con la estadística podemos observar los patrones a las enfermedades a las cuales nos enfrentamos.


Se busca la estadística para aplicar una mejor investigación medica.Se busca un lenguaje común, los estadísticos tuvieron que aprender un poco de medicina y los médicos un poco acerca de estadística. Para su correcta aplicación y colaboración."El mal uso de la estadística produce desconocimiento".

Capitulo 12 "Una mirada a la estadística".El análisis demográfico y otros procesos sociales.

  La demografía se concentra en el conjunto de técnicas matemáticas que te permiten  hacer un análisis de la dinámica demográfica en los fenómenos de fecundidad, mortalidad y migración.
Dentro de esta hay partes que tienen que ver con desarrollos matemáticos y con la introducción de perspectivas en donde se busca primero a través de los modelos matemáticos y luego se recorre a la estadística para hacerse más potentes en cuestiones como lo son el análisis de fenómenos de manera transversal y longitudinal.

La estadística es una herramienta fundamental para responder a preguntas de cómo funcionan los procesos sociales. Hay dos conceptos básicos de gran importancia:
Probabilidades: cuando se estudian los fenómenos demográficos se logra entender que todo lo que se observa es la aproximación más cercana, o intentamos acercarnos de la mejor manera a lo que está sucediendo, pero hay que entender que lo que se ven son probabilidades, ocurrencias y que hay un margen de error.
El demógrafo no solo estima hacia atrás sino busca proyectar una población, de igual forma estima  como va a portarse la fecundidad y la migración.
Riesgo: no es solo medir la fecundidad, sino intentar ver que es lo que el explica.
Para los demografos una de las herramientas fundamentales es el análisis de encuestas para dar la vinculación en diferentes procesos.
El demografo debe de acompañarse de un estadístico en cuestiones de muestreo, en entender las poblaciones a lo largo del levantamiento del trabajo de diseño, del cuestionario de la  incorporación, de los avances mas recientes, del análisis demográfico, en todo esto siempre esta la estadística al lado. Están desarrollando la dimensión espacial de los fenómenos demográficos y es algo que proviene de la estadística hacia nosotros, no nace de la demografía, también se esta desarrollando  el análisis en el tiempo, el entender como se mueve la gente, el entender esos procesos para diseñar una ciudad mas eficiente requiere las herramientas estadísticas que potencian la capacidad de interpretar lo que estamos captando con la información, cada vez hay una mayor combinación de métodos estadísticos con demográficos.

Capitulo 8 Una Mejor Bioestadistica para una Mejor Ciencia Medica

la bioestadística da el grado de certeza con el cual se puede confiar y hacer una predicción de que es, lo que va a suceder con un determinado tratamiento o una determinada intervención, también nos da una certeza de cuando esto no va a funcionar, por lo tanto con esta herramienta podemos tomar las decisiones. Todos tenemos cierto manejo de la estadística no solo la debemos usar en experimentos científicos sino también en proyectos en general, para ello es importante contar con la asesoría de quienes conocen los parámetros y procedimientos para posteriormente determinar la calidad de esos trabajos y buscar el éxito.
A veces los datos pueden ser confusos o estar mal hechos debido a algún error, por lo que es recomendable buscar un estadístico para que detecte posibles fallas u errores, esto debería ser una costumbre metodológicamente correcta, siempre verificar y contrastar nuestras ideas con alguien del área de la bioestadística y estadística. 

La bioestadística es una rama de la estadística que se ocupa de 

los problemas planteados dentrode las ciencias de la vida, como 

la biología, la medicina, genética e investigación humana, entreo

tros.

La aplicación de la bioestadística resulta necesaria, en los siguientes campos:

- Salud pública, que incluye: epidemiología, nutrición, salud ambiental,

- Salud mental y en investigación biomédica.

- Genómica y poblaciones genéticas

- Medicina

- Ecología


- Bioensayos