Distribuciones de Probabilidad discreta y continua.
Variable aleatoria.
Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. A cada suceso de dicho espacio se le puede asignar un número de tal modo que a distintos sucesos les corresponden distintos números. Pues bien llamamos Variable aleatoria definida sobre un espacio muestral a una función que permite asignar a cada suceso de E un numero real y sólo uno.
Tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas
Una variable es discreta cuando entre dos valores consecutivos de la misma, la variable no puede tomar ningún otro valor. (nº de caras de una moneda)
Una variable es continua cuando entre dos valores cualesquier de la misma, la variable puede tomar infinitos valores (altura de los individuos de un colectivo).
Conviene precisar que las variables aleatorias continuas deben considerarse como idealizaciones matemáticas, pues en la práctica los instrumentos de media sólo posibilitan mediciones discretas.
Características de las variables aleatorias DISCRETAS
Función de probabilidad. Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de probabilidad definida sobre la variable aleatoria X, como la función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad de ocurrencia de dicho valor o suceso. Así:
F(xi)=P(X=xi) f: X ---------- > [0,1]
xi---------- >P(X=xi)
Son propiedades que cumple la función de probabilidad:
a) f(xi)"0
b)f(xi) = 1
c) Si a <b<c son valores de la variable aleatoria X, entonces
P(a"X"c)=P(a"X"b)+ P(b"X"c)
Función de distribución. Dada una variable aleatoria X construida sobre un espacio muestral E, llamamos función de distribución de dicha variable a aquella función que hace corresponder a cada uno de los valores de la variable X, la probabilidad acumulada hasta ese valor. Así:
F(xi)=P(X"xi) F:X---------- > [0,1]
xi--------- > F(xi)= P(X"xi)
Son propiedades que cumple la función de distribución:
F(-")=0•
F(+")=1•
F(x) es monótona creciente•
P(a"X"b)= F(b)-F(a)•
media, esperanza matematica
Dado un experimento aleatorio, entendemos por media o esperanza matemática de una variable aleatoria asociada a dicho experimento al valor al que tiende a estabilizarse, cuando el experimento se repite un número elevado de veces. Se nota por E(X) y es igual a la suma de los productos de cada uno de los valores de la variable aleatoria por su función de probabilidad, así:
E(X)=
________________________________________
xif(xi)
Propiedades de la Esperanza matemática:
a) E(a)=a siendo a un valor constante.
b) E(aX)= aE(X)
c) E(a+X)= a+ E(X)
Ejemplo de Esperanza matemática. En una lotería que sólo produce beneficios al ganador, ¿Cuál crees que debiera ser la Esperanza matemática de la variable euros ganados en dicha lotería? La solución E(X)= 0
varianza y desviación típica
La Varianza se define como la Esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a su Esperanza matemática.
Variables aleatorias dicotomicas. Media y varianza de dichas variables.
Una variable aleatoria diremos que es dicotómica cuando dicha variable sólo puede tomar dos valores distintos; x1=0 y x2=1. La función de probabilidad de una variable dicotómica sería, si f(1)= p como Lf(xi) = 1, entonces f(0)+f(1)= 1 y como f(1)=p, tendríamos que f(0)=1-p.
La esperanza matemática de una variable aleatoria dicotómica en la que f(1)=p, sería:
E(X)= 0•(1-p) + 1•p = p
E(X²) = 0² • (1-p) + 1² • p = p y la varianza sería L²(X) = p - p² = p•(1 - p)
Variables aleatorias tipificadas Media y varianza de dichas variables.
Sea X una variable aleatoria cuya media o esperanza matemática es E(X)=µ y la desviación típica
L(X) =L A partir de estos valores y de la variable aleatoria X podemos construir una nueva variable Z cuyos valores se obtiene mediante la siguiente expresión
X - µ
Z = ------
Esta nueva variable tendrá una media igual a cero y una desviación típica igual a uno.
E(Z) =E(------) = -- E(X - µ ) = -- [E(X) - µ] = 0, ya que E(X) = µ
________________________________________
L²(Z) = E(z²) - [E(z)]² = E(z²) ya que E(z) = 0
luego
________________________________________
L²(Z) = E(z²) = E( ------)² = E[ ------] = -- E(X - µ)² = -- •L² = 1
Por tanto toda variable aleatoria tipificada tiene de media cero y desviación típica uno.
Características de las variables aleatorias CONTINUAS
1.- Función de densidad de probabilidad. Es aquella función que asigna a cada valor xi de la variable X la densidad de probabilidad de la variable X en el punto xi. Así
f(xi) = P(X=xi)
Propiedades:
f(x) " 0•
"f(x) dx = 1•
2.- Función de distribución. Es aquella función que asigna a cada valor de la variable X su probabilidad acumulada.
F(xi) = P(X"xi)
Propiedades:
F(-") = 0•
F(+") = 1•
F(x) es monótona creciente•
P(a " x " b) = F(b) - F(a)•
3.- Valor Esperado. E(x) = "xi•f(x) dx
4.- Varianza.
________________________________________
(X) = E(X²) - [E(X)]² = "xi²•f(x) dx - ("xi²•f(x) dx)²
Propiedades de la varianza
• Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.
• σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.
• Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.
Distribuciones de probabilidad
Son importantes porque se plasma de una manera clara los datos del estudio, utilizando a su vez la fuerza y apoyo exacto de los números y matemáticas, para expresar trabajos de forma clara y figurar los datos en forma cómoda para la vista en cuadros y gráficos, rigiéndose por normas establecidas y por formulas.
Es una función de probabilidad o de densidad de probabilidad, definida sobre un conjunto de sucesos exhaustivos y mutuamente excluyentes.
Estas distribuciones de probabilidad son teóricas y desconocidas en general, para muchas variables aleatorias. En el caso que se conozca la distribución de probabilidad, podemos averiguar la distribución de frecuencias que cabe esperar que se obtenga en una muestra de tamaño “n” extraída de dicha población. Si f(x) es la probabilidad asociada a un intervalo, la frecuencia que cabe esperar que se presente dicho intervalo cuando se elige una muestre de tamaño “n” sería nf(x)
Modelos de distribicuones de probabilidad
Distribución muestral:• A partir del muestreo repetido, es una descripción matemática de todos los resultados posibles de los eventos muestrales y la probabilidad de cada uno.
Distribución binomial•
Un experimento aleatorio sigue el modelo binomial si cumple:
En cada prueba del experimento solo son posibles• dos resultados, a uno de ellos se le suele llamar éxito y al otro fracaso (carácter mutuamente excluyente de ambos).
El resultado obtenido en cada prueba del• experimento es independiente de los resultados obtenidos en las pruebas anteriores.
La probabilidad de ocurrencia de cada uno de los dos resultados posibles es constante, y por tanto, no varía de una prueba del experimento a otra; la probabilidad de uno de ellos suele representarse por• p y la de su contrario por q (p + q = 1)
La variable binomial es una variable discreta, pues solo puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n.
Para indicar que X es una variable binomial de parámetros n y p, escribiremos
B(X, n, p)
X es la Variable binomial, n representa el número de repeticiones del experimento y p la probabilidad del suceso llamado éxito, que es constante en todas las pruebas del experimento.
Dado que la tabla, por ser una función de distribución, lo que da es la P (X " x), si queremos calcular la P(X = x) hemos de restar a la probabilidad de que X sea menor o igual a x, la probabilidad de que X sea menor o igual a x -1.
Así: P(X = x) = P (X " x)- P (X " x-1)
Tiene:
media n•p ----------- varianza n•p•q.
La distribución normal.
El modelo de distribución de probabilidad para variables continuas más importante es la distribución normal. La gráfica de su función de probabilidad es la campana de Gauss.
Al tratarse de una distribución simétrica unimodal, la media, la moda y la mediana coinciden. Cuando una variable tiene una función de probabilidad cuya gráfica sea la de la figura diremos que dicha variable sigue una curva Normal de media µ y desviación típica, se expresa asíN (µ,) Cuanto mayor sea la desviación típica, más aplastada será la función de probabilidad.
En toda distribución normal en el intervalo de extremos:
La media menos la desviación típica, la media más la desviación típica se encuentra el 68.3% de la distribución.
P(µ-1<X< µ+1 )=0.683
La media menos dos veces la desviación típica, la media más dos veces la desviación típica se encuentra el 95.5% de la distribución.
P(µ-2<X< µ+2 )=0.955
La media menos tres veces la desviación típica, la media más tres veces la desviación típica se encuentra el 99.7% de la distribución.
P(µ-3<X< µ+3 )=0.997
Al estudiar la función de distribución de una variable continua, el calcular la probabilidad de que la variable tome un valor dentro de un intervalo equivale a calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función de probabilidad, los extremos del intervalo y el eje de abscisas.
En el caso de que el valor dado sea menor que cero o que deseemos conocer el porcentaje de casos superiores a uno dado (área a la derecha) utilizaremos la simetría de la distribución normal. En los casos en que la variable no tenga media cero o desviación típica uno, habrá previamente que tipificarla para transformarla en una nueva variable cuya media sea 0 y su desviación típica sea 1. La variable tipificada suele representarse por la letra Z y sus valores por z.
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